polinomial dan pembahasan

soal

Jika $P\left(x\right)=x^6-x^3+2$ dibagi oleh $x^2-1$, maka sisa pembagiannya adalah $\cdots \cdot$
A. $-x+4$                  D. $-x-2$
B. $-x+3$                  E. $-x-3$
C. $-x+2$

 

Pembahasan

Diketahui: $P\left(x\right)=x^6-x^3+2$

Pembagi: $D\left(x\right)=x^2-1=(x+1)(x-1)$
 
Dalam hal ini, dapat ditulis
$x^6-x^3+2=(x+1)(x-1)H\left(x\right)+S\left(x\right)$
 
Karena pembagi (divisor) berbentuk polinomial berderajat dua, maka sisa hasil baginya berupa  
polinomial berderajat satu, yaitu $S\left(x\right)=ax+b$, sehingga
$$x^6–x^3+2=(x+1)(x-1)H\left(x\right)+(ax+b)$$Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{array}{cccc}(-1{)}^6-(-1{)}^3+2& =0+a(-1)+b& & \\ -a+b& =4& & (\cdots 1)\end{array}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{cccc}(1{)}^6-(1{)}^3+2& =0+a\left(1\right)+b& & \\ a+b& =2& & (\cdots 2)\end{array}$
Diperoleh SPLDV: $\{\begin{array}{c}-a+b=4\\ a+b=2\end{array}$
Selesaikan sistem sehingga diperoleh $a=-1$ dan $b=3$. 
 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $S\left(x\right)=ax+b=-x+3$
 

(Jawaban B)